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余数定理详细教程（代数的余数定理）

时间：2024-09-04 10:48:34

讲余数定理之前，先谈一下多项式的除法运算，它的运算与普通算术的除法一样，例如:

下面的算式说明：被除数=（除数X商）+余数

对于多项式的除法，与此相同，如果用x+2去除多项式：

因此结果是：

这表明对于一个多项式f(x),当被另一个非零得多项式d(x)相除时，其商为q(x), 余项为r(x), 那么：

上面的d(x)的阶数要比f(x)小，r(x)的阶数不会高于d(x)的阶数（所谓阶数就是多项式的最高幂次）。如果d(x)=x-k, 那么就有 f(x)=(x-k)q(x)+r

至此我们可以给出余数定理：

若多项式f(x)被x-k相除，那么余数是f(k)。

这个定理很容易证明, 将x=k带入f(x)=(x-k)q(x)+r 有：

利用余数定理可以判断某个多项式能否被x-k整除，如果f(k)=0, 说明f(x)能被x-k整=0除，那么x=k，就是f(x)=0的一个根。